bestimmt die Nullstellen der Funktion rechnerisch.

Version A:

1. einzige Nullstelle: \(x=5\)
2. \(x_1=-5,\,x_2=1\)
3. \(x_1=-5,\,x_2=1\)
4. \(x_1=-4,\,x_2=0,\,x_3=2\)
5. \(x_1=-1,\,x_2=1\)

Version B:

1. einzige Nullstelle: \(x=4\)
2. \(x_1=-3,\,x_2=2\)
3. keine (reellen) Nullstellen
4. \(x_1=0,\,x_2=2,\,x_3=4\)
5. \(x_1=-\sqrt{2},\,x_2=\sqrt{2}\)

Pro Teilaufgabe: 5 Punkte

bestimmt die Nullstellen der Funktion mit dem GTR (4 Punkte) und erläutert sein Vorgehen (2 Punkte).

Version A: \(x_{1}=1-\sqrt{3}\approx -0{,}71,\, x_{2}=1+\sqrt{3}\approx 2{,}73,\, x_{3}=3-\sqrt{3}\approx 1{,}27,\, x_{4}=3+\sqrt{3}\approx 4{,}73\)

Version B: \(x_{1}\approx -0{,}48,\, x_{2}\approx 0{,}68,\, x_{3}\approx 2{,}20,\, x_{4}\approx 5{,}59\)

bestimmt die erste Ableitung von \(f\).

Version A: \(f'(x)=x^3-6x^2+8x\)

Version B: \(f'(x)=x^3-6x^2+6{,}8x\)

ermittelt die Nullstellen der ersten Ableitung.

Version A: \(x_1=0,\,x_2=2,\,x_3=4\)

Version B: \(x_1=0,\,x_2\approx 1{,}52,\,x_3\approx 4{,}48\)

überprüft das Erfülltsein der hinreichenden Bedingung (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechselkriterium). Nachgewiesen wird zuerst ein Tief-, dann ein Hoch- und ein weiterer Tiefpunkt.

ermittelt die \(y\)-Werte der Extrema.

Version A: \(T_1(0|-3),\, H(2|1),\, T_2(4|-3)\)

Version B: \(T_1(0|-1),\, H(1{,}52|1{,}17),\, T_2(4{,}48|-11{,}89)\)

bestimmt die Lage der Wendestellen und legt sein Vorgehen dar.

Version A: \(x_1\approx 0{,}85,\, x_2\approx 3{,}15\)

Version A: \(x_1\approx 0{,}68,\, x_2\approx 3{,}32\)

entscheidet, dass die Aussage wahr ist.

begründet die Wahrheit der Aussage, indem er z.B. ausführt, dass die Funktion \(g\) nur eine Spiegelung der Funktion \(f\) an der \(x\)-Achse ist und folglich Extrema, Wende- und Nullstellen ihre Position nicht verändern.

erläutert die Bedeutung des Terms im Sachzusammenhang: 2 Stunden nach Eintreffen der ersten Meldungen gibt es schon ca. 343 bzw. 390 Meldungen pro Stunde.

bestimmt die beiden Zeitpunkte, zu denen die Anzahl der Meldungen auf 0 war.

Version A: \(t_1=0,\, t_2=7{,}8\)

Version B: \(t_1=0,\, t_2=6{,}3\)

erläutert die Bedeutung der Nullstellen im Sachzusammenhang, indem er z.B. ausführt, dass die erste Nullstelle bedeutet, dass zu Beginn des Zeitraums noch keine Meldungen eingingen und nach knapp 7,8 bzw. 6,3 Stunden keine neuen Meldungen mehr eingingen.

gibt die erste Ableitung von \(M\) an:

Version A: \(M'(t)=-\frac{75}{169}t^2+\frac{30}{13}t\)

Version B: \(M'(t)=-\frac{100}{147}t^2+\frac{20}{7}t\)

bestimmt die Nullstellen der ersten Ableitung.

Version A: \(t_1=0,\, t_2=5{,}2\)

Version A: \(t_1=0,\, t_2=4{,}2\)

prüft das Erfülltsein der hinreichenden Bedingung (zweite Ableitung oder Vorzeichenwechselkriterium).

bestimmt den \(y\)-Wert des Hochpunkts:

Version A: 10,4 (also 1040 Meldungen pro Stunde)

Version B: 8,4 (also 840 Meldungen pro Stunde)

gibt die zweite Ableitung von \(M\) an:

Version A: \(M''(t)=-\frac{150}{169}t+\frac{30}{13}\)

Version B: \(M''(t)=-\frac{200}{147}t+\frac{20}{7}\)

ermittelt die Nullstelle der zweiten Ableitung.

Version A: \(t=2{,}6\)

Version B: \(t=2{,}1\)

prüft das Vorliegen der hinreichenden Bedingung (Vorzeichenwechselkriterium).

bestimmt den gesuchten Zeitraum (4 Punkte) und erläutert sein Vorgehen (3 Punkte).

Version A: \([3{,}58; 6{,}53]\)

Version B: \([3{,}11; 5{,}12]\)

zeichnet einen möglichen Verlauf der zweiten Ableitung \(f''\) von \(f\) in ein geeignetes Koordinatensystem.

Nach § 13 Abs. 2 APO-GOSt können gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit und gegen die äußere Form zu einer Absenkung der Note um bis zu eine Notenstufe in der Jgst. EF bzw. um bis zu zwei Notenpunkte in der Qualifikationsphase führen.