Definition: Funktion
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung: Jedem Ausgangswert \(x\) wird ein Funktionswert \(y\) zugeordnet.
Beispiel
- Die Zuordnung \(f\) mit \(f(x)= 2 x – 3\) ist eine Funktion, da einem beliebigen Wert für \(x\) ein bestimmter \(y\)-Wert zugeordnet wird. Beispielsweise ist für \(x=5\) der zugehörige \(y\)-Wert \(y = f(5) = 2 \cdot 5 – 3 = 7\). Damit liegt z.B. auch der Punkt \(P(5|7)\) auf dem Graphen von \(f\).
- Die Zuordnung \(g\) mit \(g(x) = x^2 – 4\) ist ebenfalls eine Funktion. Hier wäre der zu \(x = 5\) zugehörige Funktionswert dann \(y = g(5) = 5^2 – 4 = 21\). Damit liegt z.B. auch der Punkt \(Q(5|21)\) auf dem Graphen von \(g\).
Erinnerung: Die Koordinaten eines Punktes sind \(P(x|y)\).
Darstellungsarten von Funktionen
Es gibt drei gängige Formen, Funktionen darzustellen: Die Funktionsgleichung, die Wertetabelle und der Funktionsgraph.
Die Funktionsgleichung
Üblicherweise werden Funktionen mit einem Kleinbuchstaben benannt und erhalten eine Funktionsgleichung, die mathematisch erklärt, was genau mit einem Ausgangswert \(x\) gemacht wird, um den Funktionswert \(y\) zu erhalten. Man schreibt z.B. \[f(x) = 2 x – 3\] Das bedeutet dann: Zu einem beliebigen \(x\)-Wert erhält man den \(y\)-Wert, indem man \(x\) erst verdoppelt und vom Ergebnis dann 3 abzieht.
Eine gängige alternative Schreibweise ist die Zuordnungsschreibweise: \[f: x \mapsto 2 x – 3\] Diese Schreibweise meint genau das Gleiche, nämlich, dass jedem \(x\) ein bestimmter Wert zugeordnet wird, den man erhält, indem man den \(x\)-Wert verdoppelt und dann 3 davon abzieht.
Die Wertetabelle
Eine Wertetabelle kann helfen, den Verlauf von Funktionen besser zu verstehen. In ihr stellt man \(x\)-Werte und ihre zugehörigen Funktionswerte \(y\) dar. Oft nutzt man bei den \(x\)-Werten gleichmäßige Abstände, das ist aber kein Muss.
Für unsere Funktion \(f\) mit \(f(x) = 2 x – 3\) z.B. ergibt sich beispielsweise diese Wertetabelle:
| Ausgangswert \(x\) | \(-5\) | \(-4\) | \(-3\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Funktionswert \(y = f(x)\) | \(-13\) | \(-11\) | \(-9\) | \(-7\) | \(-5\) | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) | \(5\) | \(7\) |
Man kann aber auch andere \(x\)-Werte nutzen, je nachdem, wozu die Funktion genutzt werden soll, beispielsweise ist auch die folgende Wertetabelle eine solche für \(f\) mit \(f(x) = 2 x – 3\):
| Ausgangswert \(x\) | \(-50\) | \(-20\) | \(-10\) | \(\frac{3}{2}\) | \(\pi\) | \(10{,}5\) | \(20\) | \(50\) | \(100\) | \(1\,000\) | \(10\,000\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Funktionswert \(y = f(x)\) | \(-103\) | \(-43\) | \(-23\) | \(0\) | \(2 \pi – 3 \approx 3{,}28\) | \(18\) | \(37\) | \(97\) | \(197\) | \(1\,997\) | \(19\,997\) |
Der Funktionsgraph
Der Graph der Funktion \(f\) wird oft mit \(G_f\) bezeichnet. Auf der \(x\)-Achse des Koordinatensystems werden die Ausgangswerte und auf der \(y\)-Achse die Funktionswerte eingetragen. Für unsere Funktion \(f\) mit \(f(x) = 2 x – 3\) erhält man dann beispielsweise diesen Graphen:
Die rote Gerade ist hierbei der Graph \(G_f\) von \(f\). Auch an ihm kann man beispielsweise ablesen, dass \(f(5) = 7\) ist, weil der Punkt \(P(5|7)\) auf dem Graphen \(G_f\) von \(f\) liegt.
Erinnerung: Eine Funktion wie \(f\) nennt man eine lineare Funktion, da sie, in ihrer allgemeinen Form, \(y = f(x) = m \cdot x + b\) folgt. In unserem Beispiel ist die Steigung \(m = 2\) und der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = -3\). Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade.